📑 Maths. TF1319. Standard Calculation 13
🌀 Home Page
🌀 Various Exam Exercises
Conduct a complete review of functions and build their graphs.
Task 1
1) Найдем область определения функции и точки разрыва.
$\displaystyle{y = \frac{4}{x^2+2 x-3} = \frac{4}{(x-1) \ (x+3)}}$
$\displaystyle{D(y)= (-\infty; -3) \cup (-3; 1) \cup (1; +\infty)}$
$\displaystyle{x = -3; x = 1}$ - точки разрыва второго рода.
2) Вычислим односторонние пределы функции
- в граничных точках области определения,
- в точках разрыва.
Найдем вертикальные асимптоты.
$\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x^2+2 x-3}=\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x^2}=0}$
$\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} \frac{4}{x^2+2 x-3}=\lim_{x \to -\infty} \frac{4}{x^2}=0}$
$\displaystyle{\lim_{x \to -3+0} \frac{4}{x^2+2 x-3}=\frac{4}{(-3+0-1) \ (-3+0+3)}=\frac{4}{+0 \ (-4+0)}=-\infty }$
$\displaystyle{\lim_{x \to -3-0} \frac{4}{x^2+2 x-3}=\frac{4}{(-3-0-1) \ (-3-0+3)}=\frac{4}{-0 \ (-4-0)}=+\infty}$
$\displaystyle{\lim_{x \to 1+0} \frac{4}{x^2+2 x-3}=\frac{4}{(1+0-1) \ (1+0+3)}=\frac{4}{+0 \ (4+0)}=+\infty}$
$\displaystyle{\lim_{x \to 1-0} \frac{4}{x^2+2 x-3}=\frac{4}{(1-0-1) \ (1-0+3)}=\frac{4}{-0 \ (4-0)}=-\infty}$
Прямые $x = -3, \ x = 1$ являются вертикальными асимптотами.
3) Проверим, является ли функция четной, нечетной, периодической.
$\displaystyle{y(-x)=\frac{4}{(-x)^2+2 (-x)-3}=\frac{4}{x^2-2 x-3} \implies y(-x) \neq y(x) \land y(-x) \neq -y(x)}$
Функция не является четной или нечетной.
Обозначим $ t \neq 0$ предполагаемый период функции.
$\displaystyle{y(x+t)=y(x) \iff \frac{4}{(x+t)^2+2 (x+t)-3}=\frac{4}{x^2+2 x-3} \iff}$
$\displaystyle{\iff (x+t)^2+2 (x+t)=x^2+2 x \iff 2 x t+t^2+2 t=0 \iff}$
$\displaystyle{\iff t \ (t+2 x+2)=0 \iff t=0 \lor t=-2 x-2}$
$\displaystyle{t \neq const \land t=t(x)}$
Функция не является периодической.
4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
$\displaystyle{x=0 \implies y=\frac{4}{0^2+2*0-3} \approx -1.33 }$
$\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}: y(x) \neq 0}$
График функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0; -1\frac{1}{3})$ и не пересекает ось $Ox$.
5) Найдем наклонные асимпоты графика функции.
Вычислим коэффициенты для прямой $y = kx + b$, являющейся наклонной асимптотой.
$\displaystyle{k=\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{4}{x^2+2 x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x^3+2x^2-3 x}=0}$
$\displaystyle{k=\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{4}{x^2+2 x-3}}{x}=\lim_{x \to -\infty} \frac{4}{x^3+2x^2-3 x}=0}$
$\displaystyle{b=\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x^2+2 x-3}-kx=\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x^2+2 x-3}-0=0}$
$\displaystyle{b=\lim_{x \to -\infty} \frac{4}{x^2+2 x-3}-kx=\lim_{x \to -\infty} \frac{4}{x^2+2 x-3}-0=0}$
$y = 0$ - уравнение горизонтальной асимптоты. Наклонная асимптота совпадает с горизонтальной.
6) Вычислим первую производную. Найдем точки локального экстремума и промежутки монотонности.
$\displaystyle{y \prime=\bigg(\frac{4}{x^2+2 x-3}\bigg) \prime=\frac{(4)' \ (x^2+2 x-3)-4 \ (x^2+2 x-3)'}{(x^2+2 x-3)^2}=}$
$\displaystyle{= \frac{0 \ (x^2+2 x-3)-4 \ (2 x+2 x)}{(x^2+2 x-3)^2} = \frac{-8 \ ( +1)}{(x+3)^2 (x-1)^2}}$
Функция может иметь локальный экстремум в критических точках, если:
- функция определена и непрерывна в этих точках,
- значение производной в них равно нулю или не существует.
В данном случае производная функции определена на всей $ D(y)= (-\infty; -3) \cup (-3; 1) \cup (1; +\infty)$,
поэтому нужно найти только стационарные точки $x$, для которых $y \prime (x)=0$
$\displaystyle{\frac{ - 8 \ (x + 1)}{(x + 3)^2 (x - 1)^2} = 0 \iff x = -1}$
Промежутки монотонности:
| $x$ | $(-\infty; -3)$ | $-3$ | $(-3; -1)$ |
$ -1$ | $(-1; 1)$ | $1$ | $(1; +\infty)$ |
|---|
| $y\prime(x)$ | $+$ | $\nexists$ | $+$ |
$0$ | $-$ | $\nexists$ | $-$ |
| $y (x)$ | $\nearrow$ | $\nexists$ | $\nearrow$ |
$-1$ | $\searrow$ | $\nexists$ | $\searrow$ |
$x = -1$ является точкой локального максимума, $y ( -1 ) = -1$.
$x = -3$, $x = 1$ не являются точками локального экстремума.
$(-\infty; -3), \ (-3; -1)$ - функция возрастает.
$(-1; 1), \ (1; +\infty)$ - функция убывает.
7) Вычислим вторую производную. Найдем точки перегиба графика функции и промежутки выпуклости.
$\displaystyle{y '' = \Bigg(\frac{ - 8 \ (x + 1)}{(x^2 + 2 x - 3)^2}\Bigg)' =}$
$\displaystyle{= -8 * \frac{(x + 1)' \ (x^2 + 2 x - 3)^2 - (x + 1) \ ((x^2 + 2 x - 3)^2)'}{(x^2 + 2 x - 3)^4} = }$
$\displaystyle{= -8 * \frac{(x^2+2 x-3)^2-2 \ (x+1) \ (x^2+2 x-3) \ (2x+2)}{(x^2+2 x-3)^4} =}$
$\displaystyle{= -8 * \frac{x^2+2 x-3 -2 \ (2x^2+4 x+2)}{(x^2+2 x-3)^3} = \frac{8 \ (3 x^2+6 x+7)}{(x^2+2 x-3)^3}}$
$\displaystyle{y '' = \frac{8 \ (3 x^2 + 6 x + 7)}{(x + 3)^3 (x- 1)^3} }$
Функция может иметь точки перегиба, если:
- функция определена и непрерывна в этих точках,
- значение второй производной в них равно нулю или не существует.
В данном случае
- $y\prime\prime (x)$ определена на всей $ D(y)= (-\infty; -3) \cup (-3; 1) \cup (1; +\infty)$,
- $\nexists x \in \mathbb{R}: y \prime\prime (x) = 0$
Промежутки выпуклости:
| $x$ | $(-\infty; -3)$ | $-3$ | $(-3; 1)$ | $1$ | $(1; +\infty)$ |
|---|
| $y\prime\prime (x)$ | $+$ | $\nexists$ | $-$ | $\nexists$ | $+$ |
| $y (x)$ | $\cup$ | $\nexists$ | $\cap$ | $\nexists$ | $\cup$ |
Функция не имеет точек перегиба.
$(-\infty; -3), \ (1; +\infty)$ - график функции является выпуклым вниз.
$(-3; 1)$ - график функции является выпуклым вверх.
8) Построим график функции.
Task 2
1) Найдем область определения функции и точки разрыва.
$\displaystyle{y = 2 \ \ln \frac{x}{x-4}-3}$
$\displaystyle{D(y)=(-\infty; 0) \cup (4; +\infty)}$
$\displaystyle{\frac{x}{x-4}>0}$
$\displaystyle{x = 0; x = 4}$ - точки разрыва второго рода.
2) Вычислим односторонние пределы функции
- в граничных точках области определения,
- в точках разрыва.
Найдем вертикальные и горизонтальные асимптоты.
$\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} 2 \ \ln \frac{x}{x-4}-3=-3; \lim_{x \to +\infty}\ln \frac{x}{x-4}=+0}$
$\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} 2 \ \ln \frac{x}{x-4}-3=-3; \lim_{x \to -\infty}\ln \frac{x}{x-4}=-0}$
$\displaystyle{\lim_{x \to 0+0} 2 \ \ln \frac{x}{x-4}-3=\lim_{x \to 0+0} \ln (1+\frac{4}{x-4})=\ln (1-1-0) \; \nexists }$
$\displaystyle{\lim_{x \to 0-0} 2 \ \ln \frac{x}{x-4}-3=\lim_{x \to 0-0} \ln (1+\frac{4}{x-4})=\ln (1-1+0)=-\infty }$
$\displaystyle{\lim_{x \to 4+0} 2 \ \ln \frac{x}{x-4}-3=\lim_{x \to 4+0} \ln (1+\frac{4}{x-4})=\ln (1+4/(4+0-4))=+\infty }$
$\displaystyle{\lim_{x \to 4-0} 2 \ \ln \frac{x}{x-4}-3=\lim_{x \to 4-0} \ln (1+\frac{4}{x-4})=\ln (1+4/(4-0-4)) \; \nexists}$
Прямые $x = 0, \ x = 4$ являются вертикальными асимптотами, прямая $y = -3$ - горизонтальной.
3) Проверим, является ли функция четной, нечетной, периодической.
$\displaystyle{y(-x)=2 \ln \frac{-x}{-x-4}-3=2 \ln \frac{x}{x+4}-3 \implies y(-x) \neq y(x) \land y(-x) \neq -y(x)}$
Функция не является четной или нечетной.
Обозначим $ t \neq 0$ предполагаемый период функции.
$\displaystyle{y(x+t)=y(x) \iff \frac{x+t}{x+t-4} = \frac{x}{x-4} \iff}$
$\displaystyle{\iff (x+t) (x-4)= x (x+t-4) \iff x^2+t x-4 x-4 t=x^2+t x -4x \iff 4 t=0 \iff t=0}$
$\displaystyle{t \neq const}$
Функция не является периодической.
4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
$\displaystyle{x=0 \notin D(y)}$
$\displaystyle{2 \ln \frac{x}{x-4}-3=0 \implies x=\frac{4 e^{\frac{2}{3}}}{e^{\frac{2}{3}}-1}}$
График функции не пересекает ось $Oy$ и пересекает ось $Ox$ в точке $x=\frac{4 e^{\frac{2}{3}}}{e^{\frac{2}{3}}-1} \approx 5.1$.
5) Найдем наклонные асимпоты графика функции.
Вычислим коэффициенты для прямой $y=kx+b$, являющейся наклонной асимптотой.
Наклонная асимптота совпадает с горизонтальной.
6) Вычислим первую производную. Найдем точки локального экстремума и промежутки монотонности.
$\displaystyle{y \prime = \bigg(2 \ln \frac{x}{x-4}-3 \bigg) \prime = 2 \bigg( \ln \frac{x}{x-4} \bigg) \prime =}$
$\displaystyle{= 2 \frac{x-4}{x} \bigg(\frac{x}{x-4} \bigg) \prime = 2 \frac{x-4}{x} \frac{1*(x-4)-x*1}{(x-4)^2}=}$
$\displaystyle{= 2 \frac{-4}{x (x-4)} = - \frac{8}{x^2-4 x}}$
Функция может иметь локальный экстремум в критических точках, если:
- функция определена и непрерывна в этих точках,
- значение производной в них равно нулю или не существует.
В данном случае производная функции определена на всей $D(y)= (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$,
поэтому нужно найти только стационарные точки $x$, для которых $y \prime (x) = 0$
Точек экстремума нет. Промежутки монотонности:
| $x$ | $(-\infty; 0)$ | $0$ | $4$ | $(4; +\infty)$ |
|---|
| $y \prime (x)$ | $-$ | $\nexists$ | $\nexists$ | $-$ |
| $y (x)$ | $\searrow$ | $\nexists$ | $\nexists$ | $\searrow$ |
7) Вычислим вторую производную. Найдем точки перегиба графика функции и промежутки выпуклости.
$\displaystyle{y \prime \prime=\Bigg(-\frac{8}{x (x-4)}\Bigg) \prime=}$
$\displaystyle{=-8 \frac{0*x (x-4)-1*(x^2-4 x)\prime}{x^2 (x-4)^2}=-8 \frac{-(2 x-4)}{x^2 (x-4)^2}=}$
$\displaystyle{=\frac{16 (x-2)}{x^2 (x-4)^2}}$
Функция может иметь точки перегиба, если:
- функция определена и непрерывна в этих точках,
- значение второй производной в них равно нулю или не существует.
В данном случае вторая производная функции определена на всей $D(y)= (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$,
поэтому нужно найти только стационарные точки $x$, для которых $y \prime \prime (x) = 0$
$\displaystyle{y \prime \prime=0 \iff x=2, x=2 \notin D(y)}$
Функция не имеет точек перегиба. Промежутки выпуклости:
| $x$ | $(-\infty; 0)$ | $0$ | $4$ | $(4; +\infty)$ |
|---|
| $y\prime\prime (x)$ | $-$ | $\nexists$ | $\nexists$ | $+$ |
| $y (x)$ | $\cap$ | $\nexists$ | $\nexists$ | $\cup$ |
8) Построим график функции.
Task 3
1) Найдем область определения функции и точки разрыва.
$\displaystyle{D(y)= (-\infty; +\infty)}$
Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Точек разрыва нет.
2) Вычислим односторонние пределы функции
- в граничных точках области определения,
- в точках разрыва.
$\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}(((x-2)^2)^{1/3}-((x-3)^2)^{1/3})=\lim_{x \to +\infty}((x^2-4 x+4)^{1/3}-(x^2-6 x+9)^{1/3}) = \lim_{x \to +\infty} ((x^2)^{1/3}-(x^2)^{1/3})=0}$
$\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}(((x-2)^2)^{1/3}-((x-3)^2)^{1/3})=\lim_{x \to -\infty}((x^2-4 x+4)^{1/3}-(x^2-6 x+9)^{1/3}) = \lim_{x \to +\infty} ((x^2)^{1/3}-(x^2)^{1/3})=0}$
Найдем вертикальные асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, прямая $y = 0$ является горизонтальной асимптотой.
3) Проверим, является ли функция четной, нечетной, периодической.
$\displaystyle{y(-x)=((-x-2)^2)^{1/3}-((-x-3)^2)^{1/3}=((x+2)^2)^{1/3}-((x+3)^2)^{1/3} \implies y(-x) \neq y(x) \land y(-x) \neq -y(x)}$
Функция не является четной или нечетной.
Обозначим $ t \neq 0$ предполагаемый период функции.
$\displaystyle{y(x+t)=y(x) \iff ((x+t-2)^2)^{1/3}-((x+t-3)^2)^{1/3}=((x-2)^2)^{1/3}-((x-3)^2)^{1/3} \iff}$
$\displaystyle{t \neq const \land t=t(x)}$
Функция не является периодической.
4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
$\displaystyle{x=0 => y=4^{1/3}-9^{1/3}}$
$\displaystyle{((x-2)^2)^{1/3}-((x-3)^2)^{1/3}=0 \implies (x-2)^2=(x-3)^2 \implies 2 x=5 \implies x=2.5}$
График функции пересекает ось $Oy$ в точке $x=0, y=4^{1/3}-9^{1/3}$ и пересекает ось $Ox$ в точке $x=2.5, y=0$.
5) Найдем наклонные асимпоты графика функции.
Вычислим коэффициенты для прямой $y=kx+b$, являющейся наклонной асимптотой.
Наклонная асимптота совпадает с горизонтальной.
6) Вычислим первую производную. Найдем точки локального экстремума и промежутки монотонности.
$\displaystyle{y \prime = \bigg( ((x-2)^2)^{1/3}-((x-3)^2)^{1/3} \bigg) \prime = \bigg( ((x-2)^2)^{1/3} \bigg) \prime - \bigg( ((x-3)^2)^{1/3} \bigg) \prime =}$
$\displaystyle{=\frac {1}{3} ((x-2)^2)^{1/3-1} \cdot ((x-2)^2) \prime - \frac {1}{3} ((x-3)^2)^{1/3-1} \cdot ((x-3)^2) \prime =}$
$\displaystyle{=\frac {2 (x-2)}{3((x-2)^2)^{2/3}} - \frac {2 (x-3)}{3((x-3)^2)^{2/3}}}$
Функция может иметь локальный экстремум в критических точках, если:
- функция определена и непрерывна в этих точках,
- значение производной в них равно нулю или не существует.
В данном случае производная функции определена на всей $D(y)=(-\infty; +\infty)$, кроме точек $x=2 \land x=3$,
а стационарных точек $x$, для которых $y \prime (x) = 0$, не существует.
$\displaystyle{\frac{2 (x-2)}{3((x-2)^2)^{2/3}}-\frac {2 (x-3)}{3((x-3)^2)^{2/3}}=0 \iff \frac {x-2}{((x-2)^2)^{2/3}}=\frac {x-3}{((x-3)^2)^{2/3}} \iff}$
$\displaystyle{\frac {(x-2)^3}{(x-2)^4}=\frac {(x-3)^3}{(x-3)^4} \iff
\frac {1}{x-2}=\frac {1}{x-3} \iff x \in \emptyset }$
Промежутки монотонности:
| $x$ | $(-\infty; 2)$ | $2$ | $(2; 3)$ | $ 3$ | $(3; +\infty)$ |
|---|
| $y\prime(x)$ | $-$ | $\nexists$ | $+$ | $\nexists$ | $-$ |
| $y (x)$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $1$ | $\searrow$ |
$x=2$ - точка минимума, $x=3$ - точка максимума. Линии $y=-1, \; y=1$ являются горизонтальными асимптотами.
7) Вычислим вторую производную. Найдем точки перегиба графика функции и промежутки выпуклости.
$\displaystyle{y \prime \prime=\Bigg(\frac {2 (x-2)}{3((x-2)^2)^{2/3}}-\frac {2 (x-3)}{3((x-3)^2)^{2/3}}\Bigg) \prime=\Bigg(\frac {2 (x-2)}{3((x-2)^2)^{2/3}} \Bigg) \prime - \Bigg( \frac {2 (x-3)}{3((x-3)^2)^{2/3}}\Bigg) \prime=}$
$\displaystyle{=\frac{2}{3} \Bigg(\frac{((x-2)^2)^{2/3}-(x-2) 4/3 (x-2)/((x-2)^2)^{1/3}}{((x-2)^2)^{4/3}}-\frac{((x-3)^2)^{2/3}-(x-3) 4/3 (x-3)/((x-3)^2)^{1/3}}{((x-3)^2)^{4/3}}\Bigg)=}$
$\displaystyle{=\frac{2}{3 ((x-2)^2)^{2/3}}-\frac{8 (x-2)^2}{9 ((x-2)^2)^{5/3}}-\frac{2}{3 ((x-3)^2)^{2/3}}+\frac{8 (x-3)^2}{9 ((x-3)^2)^{5/3}}}$
Функция может иметь точки перегиба, если:
- функция определена и непрерывна в этих точках,
- значение второй производной в них равно нулю или не существует.
В данном случае вторая производная функции определена на всей $D(y)= (-\infty; +\infty)$,
поэтому нужно найти только стационарные точки $x$, для которых $y \prime \prime (x) = 0$
$\displaystyle{y \prime \prime=0 \iff x=2.5}$
Промежутки выпуклости:
| $x$ | $(-\infty; 2)$ | $2$ | $(2; 2.5)$ | $2.5$ | $(2.5; 3)$ | $3$ | $(3; +\infty)$ |
|---|
| $y\prime\prime (x)$ | $-$ | $\nexists$ | $-$ | $0$ | $+$ | $\nexists$ | $+$ |
| $y (x)$ | $\cap$ | $-1$ | $\cap$ | $0$ | $\cup$ | $1$ | $\cup$ |
$x=2.5$ является точкой перегиба.
8) Построим график функции.
Cells for Your Experiments